MAKALAH
ANALISA
KUANTITATIF
“Model
Antrian”
diajukan
untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Analisa kuantitatif
Disusun
oleh :
Lilih solihah
1123070063
JURUSAN
MANAJEMEN KEUANGAN SYARIAH IV/B
FAKULTAS
SYARIAH DAN HUKUM
UNIVERSITAS
ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI
BANDUNG
2014
KATA
PENGANTAR
Hamdan wasyukran Lillah, shalatan
wassalaman’Ala Rasulilah, dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat allah
SWT, atas limpahan taufik hidayah dan rahmatnya sehingga penyusun dapat
menyelesaikan penulisan makalah “model antrian“ untuk kita pelajari.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat
buat kita pelajari bersama, dan kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah
ini masih sangat banyak kekurangan, maupun hal-hal lain yang berknaan masih terdapat
kelemahan namun tetap diyakini akan mendatangkan manfaat.
BAB I
PENDAHULUAN
A.
LATAR BELAKANG MASALAH
Manusia sebagai makhluk sosial,
tidak akan terlepas dari peran serta orang lain dalam kehidupan. Pada kondisi
tertentu manusia pasti membutuhkan jasa orang lain dalam memenuhi kebutuhan
hidup, dan untuk mendapatkannya terkadang mengharuskan untuk menunggu terlebih
dulu. Hal tersebut sangat mungkin terjadi, karena banyak orang yang membutuhkan
jasa yang sama dalam waktu yang bersamaan pula. Kondisi tersebut sering
terlihat dalam kehidupan sehari-sehari, seperti orang menunggu untuk
mendapatkan tiket kereta api, menunggu pesanan di rumah makan, mengantri di
kasir sebuah swalayan, dan mobil yang menunggu giliran untuk dicuci.
Kenyataannya menunggu adalah bagian dari kehidupan sehari-hari, dan yang dapat
diharapkan adalah dapat mengurangi ketidaknyamanan tersebut. Sesuatu yang
sangat diharapkan adalah ketika dapat memperoleh jasa tanpa harus menunggu
terlalu lama. Individu – individu yang menunggu (komponen, produk, kertas
kerja, orang) bertujuan untuk mendapatkan suatu layanan. Pada proses menunggu
untuk mendapatkan layanan tersebut menimbulkan suatu garis tunggu, dan pada
garis tunggu tersebut dapat diprediksi karakteristik –
karakteristiknya.Sehingga dapat dijadikan dasar pengambilan kepustusan agar
tercapai kondisi yang lebih baik, misalnya agar tidak terjadi antrian yang
berkepanjangan.
Menurut Sinalungga (2008:238),
Teori antrian (Queueing Theory) merupakan studi probabilistik kejadian garis
tunggu (waiting lines), yakni suatu garis tunggu dari customer yang memerlukan
layanan dari sistem yang ada. Antrian terjadi karena adanya keterbatasan sumber
pelayanan, yang umumnya berkaitan dengan terbatasnya server karena alasan
ekonomi. Jika jumlah serveryang disediakan terbatas, memungkinkan terjadi
antrian yang terlalu lama, sehingga orang dapat memutuskan untuk meninggalkan
antrian tersebut. Hal ini merupakan suatu kerugian bagi pihak perusahaan,
karena kehilangan customer. Agar tidak kehilangan customer, maka pihak
perusahaan harus menyediakanserver yang mencukupi, tetapi dilain pihak
perusahaan harus mengeluarkan biaya yang lebih besar.
Menurut Wospakrik (1996:302), sistem
antrian adalah himpunancustomer, server beserta aturan yang mengatur antara
kedatangancustomer dan pelayanannya. Salah satu komponen dari sistem antrian
adalah pola kedatangan customer. Tipe kedatangan ada dua macam, yaitu
customertiba dalam sistem antrian secara individu pada satu waktu dan
sekelompokcustomer yang datang bersamaan pada satu waktu. Dalam masalah antrian
biasa diasumsikan bahwa customer tiba di suatu fasilitas layanan secara
individu. Namun asumsi tersebut terbantahkan dalam beberapa situasi di dunia
nyata, misalnya surat yang tiba di kantor pos, orang-orang pergi ke rumah makan
atau ke bioskop adalah beberapa contoh keadaan dimana customer tidak datang
sendiri – sendiri, tetapi secara berkelompok dalam satu waktu. Tentu saja
kondisi ini berbeda dengan antrian yang kedatangannya secara individu, misalnya
waktu tunggu customer, dan kesibukan sistem tidak akan sama.Dalam tugas akhir
ini akan dibahas mengenai antrian dengan pola kedatangan berkelompok (batch
arrival). Penelusuran rumus dimulai dengan menganalisis sistem antrian dengan
satu server. Menurut Dharma (2001:39), sistem ini banyak ditemui dalam sistem
komunikasi. Tujuan pembahasan ini untuk memperoleh beberapa karakteristik yang
dapat mengukur kinerja/keefektifan sistem antrian. Pada model antrianbatch
arrival dengan satu server, diharapkan server mampu mengakomodasi jumlah
antrian unit yang lebih dari satu, yang masuk ke dalam sistem antrian dalam
waktu bersamaan. Sehingga diharapkan unit tidak menunggu terlalu lama. Dengan
demikian akan dibangun konstruksi model antrian yang sesuai dengan kondisi
tersebut.
BAB
II
ISI
Pada bab ini akan diuraikan tentang
dasar – dasar yang diperlukan dalam pembahasan model antrian dengan pola
kedatangan berkelompok.Pembahasannya mencakup tentang model antrian dengan pola
kedatangan secara individu yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Eksponensial.
A.
Proses Antrian
1. Definisi Proses Antrian
Menurut Bronson (1996: 310), proses
antrian merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan customer pada suatu
fasilitas pelayanan, menunggu panggilan dalam baris antrian jika belum
mendapatpelayanan dan akhirnya meninggalkan fasilitas pelayanan setelah
mendapat pelayanan. Proses ini dimulai saat customer – customer yang memerlukan
pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang disebut sebagai
sumber input. Menurut Hillier dan Lieberman (1980: 401), proses antrian adalah
suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan customer ke suatu sistem
antrian, kemudian menunggu dalam antrian hingga pelayan memilih customer sesuai
dengan disiplin pelayanan, dan akhirnya customer meninggalkan sistem antrian
setelah selesai pelayanan. Sistem antrian adalah himpunan customer, pelayan,
dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para customer dan pelayanannya.
Sistem antrian merupakan “ proses kelahiran – kematian “ dengan suatu populasi
yang terdiri atas para customer yang sedang menunggu pelayanan atau yang sedang
dilayani. Kelahiran terjadi jika seorang customer memasuki fasilitas pelayanan,
sedangkan kematian terjadi jika customer meninggalkan fasilitas pelayanan.
Keadaan sistem adalah jumlah customer dalam suatu fasilitas pelayanan.
(Wospakrik, 1996 :302)
1.
KOMPONEN DASAR DALAM PROSES ANTRIAN
Menurut Taha (1997:609), suatu
sistem antrian bergantung pada tujuh komponen yaitu pola kedatangan, pola kepergian,
kapasitas sistem, desain pelayanan, disiplin pelayanan, ukuran sumber
pemanggilan, dan perilaku manusia. Komponen – komponen tersebut diuraikan
sebagai berikut.
a.
Pola Kedatangan
Menurut Wagner (1972:840), pola
kedatangan adalah pola pembentukan antrian akibat kedatangan customer dalam
selang waktu tertentu. Pola kedatangan dapat diketahui secara pasti atau berupa
suatu variabel acak yang distribusi peluangnya dianggap telahdiketahui. Jika
tidak disebutkan secara khusus customer datang secara individu ke dalam sistem
antrian. Namun dapat pula lebih dari satu customer datang secara bersamaan ke
dalam sistem antrian, pada kondisi ini disebut dengan bulk arrival (Taha,
1997:177).
b.
Pola Kepergian
Pola kepergian adalah banyak kepergian
customer selama periode waktu tertentu. Pola kepergian biasanya dicirikan oleh
waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelayan untuk
melayani seorang customer. Waktu pelayanan dapat bersifat deterministik dan
dapat berupa suatu variabel acak dengan distribusi peluang tertentu (Bronson,
1996 : 310). Waktu pelayanan bersifat deterministik berarti bahwa waktu yang
dibutuhkan untuk melayani setiapcustomer selalu tetap, sedangkan waktu
pelayanan yang berupa variabel acak adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani
setiap customer berbeda – beda.
c.
Kapasitas Sistem
Menurut Bronson (1996:310),
kapasitas sistem adalah banyak maksimum customer, baik customer yang sedang
berada dalam pelayanan maupun dalam antrian, yang ditampung oleh fasilitas
pelayanan pada waktu yang sama. Suatu sistem antrian yang tidak membatasi
banyak customer dalam fasilitas pelayanannya disebut sistem berkapasitas tak
berhingga, sedangkan suatu sistem yang membatasi banyak customer dalam
fasilitas pelayanannya disebut sistem berkapasitas berhingga, jika customer
memasuki sistem pada saat fasilitas pelayanan penuh maka customer akan ditolak
dan meninggalkan sistem tanpa memperoleh pelayanan.
d.
Desain Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008:249),
Desain sarana pelayanan dapat diklasifikasikan dalam channel dan phase yang
akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Channel menunjukkan
jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Phase berarti jumlah stasiun
stasiun pelayanan, dimana para langganan harus melaluinya sebelum pelayanan
dinyatakan lengkap. Ada empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi
dalam seluruh sistem antrian:
1. Single Chanel – Single Phase Single
Chanel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk.memasuki sistem pelayanan atau
ada satu pelayanan. Single phasemenunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun
pelayanan sehingga yang telah menerima pelayanan dapat langsung keluar dari
sistem antrian. Contohnya antrian pada penjualan karcis kereta api yang hanya
dibuka satu loket.
2. Single Channel - Multi Phase
Multi
phase berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakn secara berurutan
dalam phase-phase. Misalnya pada antrian di laundry, pakaian – pakaian setelah
dicuci kemudian dijemur lalu disetrika dan terakhir dikemas.
3. Multi Chanel - Single Phase
Sistem
multi chanel-single phase terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan
dialiri oleh suatu antrian tunggal. Sebagai contoh adalah Sarana pelayanan
nasabah di Bank.
4. Multi Chanel - Multi Phase
Sistem
ini terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dengan pelayanannya
lebih dari satu phase. Sebagai contoh adalah pelayanan kepada pasien di rumah
sakit dari pendaftaran, diagnosa, tindakan medis sampai pembayaran. Setiap
sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap,
sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu.
e.
Disiplin Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008: 251),
disiplin pelayanan adalah suatu aturan yang dikenalkan dalam memilih customer
dari barisan antrian untuk segera dilayani. Adapun pembagian disiplin pelayanan
ialah:
1.
First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO),
suatu peraturan dimana yang akan
dilayani ialah customer yang datang terlebih dahulu. Contohnya antrian di suatu
kasir sebuah swalayan.
2.
Last come first served (LCFS) atau last in first out (LIFO)
merupakan antrian dimana yang
datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal atau paling dahulu.
Contohnya antrian pada satu tumpukan barang digudang, barang yang terakhir
masuk akan berada ditumpukkan paling atas, sehingga akan diambil pertama.
3.
Service in random order (SIRO) atau pelayanan dalam urutan
acak atau sering dikenal juga
random selection for services (RSS),artinya pelayanan atau panggilan didasarkan
pada peluang secara random, tidak mempermasalahkan siapa yang lebih dahulu
tiba. Contohnya kertas – kertas undian yang menunggu untuk ditentukan
pemenangnya, yang diambil secara acak.
4.
Priority service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan
kepada
mereka yang mempunyai prioritas paling tinggi dibandingkan dengan mereka yang
memiliki prioritas paling rendah, meskipun yang terakhir ini sudah lebih dahulu
tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa
hal, misalnya seseorang yang keadaan penyakit yang lebih berat dibanding dengan
orang lain dalam sebuah rumah sakit.
f.
Sumber Pemanggilan
Menurut Taha (1996:177), ukuran
sumber pemanggilan adalah banyaknya populasi yang membutuhkan pelayanan dalam
suatu sistem antrian. Ukuran sumber pemanggilan dapat terbatas maupun tak
terbatas. Sumber pemanggilan terbatas misalnya mahasiswa yang akan melakukan
registrasi ulang di suatu universitas, dimana jumlahnya sudah pasti. Sedangkan
sumber pemanggilan yang tak terbatas misalnya nasabah bank yang antri untuk
menabung atau membuka rekening baru, jumlahnya bisa tak terbatas.
g.
Perilaku Manusia
Perilaku manusia merupakan perilaku
– perilaku yang mempengaruhi suatu sistem antrian ketika manusia mempunyai
peran dalam sistem baik sebagaicustomer maupun pelayan. Jika manusia berperan
sebagai pelayan, dapat melayani customer dengan cepat atau lambat sesuai
kemampuannya sehingga mempengaruhi lamanya waktu tunggu (Taha,
1996:178).Menurut Gross dan Harris (1998:3), perilaku manusia dalam sistem
antrian jika berperan sebagaicustomer sebagai berikut. 1. Reneging mengGambarkan
situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan,
kemudian meninggalkan antrian tersebut.
Balking menggambarkan orang yang
tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying
mengGambarkan situasi jika dalam sistem ada dua atau lebih jalur antrian maka
orang dapat berpindah antrian dari jalur yang satu ke jalur yang lain.
A.
Notasi Kendall
Notasi baku untuk memodelkan suatu
sistem antrian pertama kali dikemukakan oleh D.G.Kendall dikenal sebagainotasi
kendall. Namun, A.M. Lee menambahkan simbol menjadi yang disebut notasi
kendall-Lee (Taha, 1996:627).
B.
Proses Kelahiran dan Kematian (Birth – Death Processes)
Proses kedatangan dan kepergian
dalam suatu sistem antrian merupakan proses kelahiran dan kematian (birth –
death processes). Kelahiran terjadi jika seorang customer memasuki sistem
antrian dan kematian terjadi jika seorangcustomer meninggalkan sistem antrian
tersebut.
C.
Distribusi Eksponensial dan Distribusi Poisson
1.
Distribusi Eksponensial
Distribusi
Eksponensial digunakan untuk mengGambarkan distribusi waktu pada fasilitas
jasa, dimana waktu pelayanan tersebut diasumsikan bersifat bebas. Artinya,
waktu untuk melayani pendatang tidak bergantung pada lama waktu yang telah
dihabiskan untuk melayani pendatang sebelumnya, dan tidak bergantung pada
jumlah pendatang yang menunggu untuk dilayani.( Djauhari, 1997:175-176 ).
2.
Distribusi Poisson
Suatu eksperimen yang menghasilkan
jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik
dikenal sebagai eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat berupa menit,
hari,minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti
garis, luas, sisi, maupun material. ( Dimyati, 1999:309 ) Menurut Dimyati,
(1999:309) ciri-ciri eksperimen Poisson adalah :
a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi
dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu bersifat independen
terhadap banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah
lain yang terpisah.
b. Peluang terjadinya satu hasil percobaan
selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang
kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tesebut atau besarnya daerah
tersebut.
I.
Ukuran Keefektifan Sistem Antrian
Menurut Taha (1997, 189:190),
ukuran keefektifan suatu sistem antrian dapat ditentukan setelah probabilitas
steady state diketahui. Ukuran – ukuran keefektifan suatu sistem tersebut
antara lain:
1) Nilai harapan banyaknya customer dalam
sistem antrian
2) Nilai harapan banyaknya customer dalam
antrian
3) Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem
antrian
4) Nilai harapan waktu tunggu dalam antrian
Sebelum membahas lebih lanjut, akan
diuraikan lima definisi yang mendukung pembahasan ukuran keefektifan suatu
sistem.Jumlah customer dalam sistem adalah jumlah customer dalam antrian
ditambah jumlah customer yang sedang mendapat layanan.Laju kedatangan efektif
merupakan laju kedatangan rata – rata dalam waktu yang panjang. Laju kedatangan
efektif dinotasikan .
Model
Antrian (M/M/k)
Sebagai dasar dalam pembahasan
model antrian (M/M/k)akan dibahas terlebih dahulu model antrian (M/M/k)
1.
Solusi Steady-State untuk Model (M/M/k)
Sistem antrian (M/M/k)merupakan model
antrian satu sever dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan
berdistribusi Eksponensial. Model ini merupakan model tanpa batas.
kapasitas baik dari kapasitas
sistem maupun kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanannya bersifat FCFS,
yaitu customer yang datang pertama dilayani terlebih dahulu begitu seterusnya.
Notasi sistem antrian ini berdasarkan dengan notasi Kendall-Lee.Jika kedatangan
customer mengikuti distribusi Poisson dengan laju , maka dari asumsi (i)
probability sebuah kedatangan terjadi , dan berdasarkan asumsi (v).
BAB
III
KESIMPULAN
Dalam makalah ini dibahas tentang
keefektifan sistem antrian multiserver dengan pola kedatangan berkelompok (batch
arrival).
A.
Pola Kedatangan Berkelompok ( Batch Arrival )
Sebagai contoh situasi pada sistem
antrian dimana customer dating secara berkelompok yaitu kedatangan customer
secara berkelompok disebuah restoran, dan surat – surat yang tiba di kantor
pos. Ilustrasi sistem antrian dengan pola kedatangan berkelompok ( batch
arrival ) terlihat dalam
Pada sistem antrian ini customer
datang secara berkelompok dengan ukuran kelompok tersebut adalah _, dimana
secara umum _ adalah variable acak positif. Pada pembahasan ini, customer
datang berdasarkan distribusi Poisson dengan laju kedatangan , dan terdapat
sebuah server yang memiliki waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan
laju pelayanan , dimana customerdilayani secara individu dengan disiplin
antrian FIFO ( First In First Out ). Desain pelayanan pada sistem antrian ini
adalah Single Channel Single Phase. Notasi untuk model antrian satu server
dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival ) tersebut.
A.Proses
Kedatangan dan Kepergian pada Sistem Antrian M/M/k
Pada sistem antrian dengan pola
kedatangan berkelompok ( batch arrival ), ukuran suatu kelompok yang masuk
kedalam suatu sistem antrianmerupakan variabel acak positif _, dengan fungsi
peluang kedatangan suatukelompok berukuran
adalah Karena proses kedatangan pada sistem antrian dengan pola
kedatangan berkelompok mengikuti distribusi Poisson dengan banyaknya kedatangan
tiap satuan waktu. Dan setiap kedatangan tersebut berukuran __, maka banyaknya
kedatangan tiap satuan waktu pada sistem antrian M/M/k ini adalah Laju transisi
untuk sistem antrian M/M/k dapat dilihat dalam
B.
Solusi Steady state Model Antrian m/m/k
Kondisi
steady state yaitu keadaan sistem yang tidak tergantung pada keadaan awal
maupun waktu yang telah dilalui. Jika suatu sistem antrian telah mencapai
kondisi steady state maka peluang terdapat * customer dalam sistem pada waktu
t, yang dinotasikan dengan m/m/k tidak tergantung pada waktu.
C.
Ukuran Keefektifan Sistem Antrian m/m/k
Ukuran
keefektifan suatu sistem antrian batch arrival dapat ditentukan setelah PGF
dari O diketahui. Ukuran – ukuran keefektifan dari suatu sistem antrian
tersebut adalah banyak customer dalam sistem/ef, banyak customer yang menunggu
dalam antrian/eg, waktu tunggu setiap customer dalam 70 sistem/hf, waktu tunggu
setiap customer dalam antrian/hg, dan persentase pemanfaatan sarana
pelayanan/ij. Ukuran – ukuran keefektifan tersebut dapat digunakan untuk
menganalisis operasi situasi antrian, yang dimaksudkan untuk pembuatan
rekomendasi tentang rancangan sistem tersebut.
1.
Nilai Harapan Banyak Customer dalam Sistem
Nilai
harapan banyak customer dalam sistem antrian merupakan jumlah keseluruhan dari
perkalian customer dalam sistem dan probabilitasnya,
D.
Implementasi
Agar
lebih memahami tentang model antrian m/m/k diberikan contoh penerapan soal
sebagai berikut. Sebagai ilustrasi penulis memberikan Gambaran penerapan model
antrian pada situasi antrian yang terjadi di sebuah kantor pajak. Data yang
diolah adalah data yang dibangun dengan software minitab yang distribusi
kedatangannya memenuhi distribusi Poisson dan waktu pelayanannya memenuhi
distribusi Eksponensial. Dengan rata – rata laju kedatangan
